511: Matemática: Números Naturais

O que é um número? Um número pode ser tomado sob três aspectos: semântico, axiomático, e construtivo.

Semântico: Refere-se ao seu significado no discurso, podendo ser ele cardinal ou ordinal. É um número cardinal quando contamos quantos objetos há num grupo; e ordinal se contarmos sobre a posição em que um objeto particular está em um grupo.
A distinção entre números cardinais e ordinais fará mais sentido quando vista a partir da base teórica dos conjuntos.

Axiomático: Define os números pelo seu comportamento. Uma descrição axiomática é precisa e possibilita o raciocínio formal.

O conjunto do números naturais (Escreve-se N) consiste do zero e dos números maiores que zero e que não estão fracionados.

São descritos na Aritmética de Peano:

• Valor inicial: Há um objeto especial chamado 0 (zero), e 0 é um número natural;
• Sucessor: Para todo número natural n há um outro número natural, chamado sucessor, S(n);
• Predecessor: 0 não é sucessor de nenhum outro número natural; Todo o número natural, exceto 0, é sucessor de outro número natural, dito seu predecessor;
• Unicidade: Dois números naturais não têm o mesmo sucessor;
• Equidade: 
• Reflexiva: todo número é igual a si mesmo;
• simétrica: se a=b, então b=a;
• transitiva: se a=b e b=c, então a=c;
• Indução: Uma afirmação P é verdadeira para todos os números naturais se
• P é verdadeira quanto a 0 (P(0)=verdadeiro);
• Se assumirmos que para um número natural n, P(n)=verdadeiro, então P(S(n))=verdadeiro também.

A indução é essencial, pois o conjunto dos números naturais é infinito, e a indução é o que permite estender o raciocínio de algo finito a algo infinito, isto é, de um particular a um universal.

O processo de adição pode ser definido axiomaticamente assim:

• Comutatividade: para qualquer par de números naturais n e m,
  
  n+m=m+n
• Identidade: para qualquer número natural n,
  
  n+0=0+n=n
• Recursão: para quaisquer números naturais n e m,
  

  m+S(n)=S(m+n)

Ex.: Dado um número natural N. Qual é a soma de todos os números inteiros de 1 a N?

N(N+1)/2

Construtivo: O número é algo que é construído da noção ou de quantidade ou de posição.