511: Matemática: Números Inteiros

Para compreendermos os números inteiros, usamos como base nosso conhecimento dos números naturais.
Tomemos uma régua imaginário que, como uma régua comum, começa no zero, mas que se estende ao infinito. Essa régua representaria os números naturais. Para adicionarmos os números inteiros, seria como se houvesse mais uma régua, como a primeira, mas no sentido oposto.
Os números inteiros são os números naturais mais os seus opostos.

Na aritmética de Peano adiciona-se às regras dos números naturais os seguintes axiomas para definir os números inteiros:

• Inverso aditivo: para qualquer número natural n, exceto 0, há um número -n que não é um número natural e que é chamado de inverso aditivo de n, onde n+-n=0. Chamamos o conjunto dos números naturais e seus inversos aditivos de números inteiros.
• Unicidade inversa: para qualquer par de números inteiros i e j, i é o inverso aditivo de j se e somente se j for o aditivo inverso de i.

Podemos criar construções matemáticas para representar os números inteiros em termos de números naturais, às quais chamamos de modelos.

O modo mais simples de representar os números inteiros é usar pares ordenados de números naturais: (a, b). Um número inteiro representado por um par (a, b) é o valor de (a-b). Em termos matemáticos dizemos que os números inteiros consistem de classes de equivalência dos pares.

Dois pares (a, b) e (b, c) são equivalentes quando o primeiro e o segundo elemento de cada par estão separados pela mesma distância e direção numa linha de números, tal como (4, 7) e (6, 9).

A adição e subtração dos nossos modelos seguiriam as seguintes regras:

• M+N=(m₁+n₁, m₂+n₂)
• M-N=(m₁+n₂, m₂+n₁)
• O inverso aditivo de um número N=(n₁, n₂), escrita -N, é apenas o par revertido: -N=(n₂, n₁).

Isso é tudo o que precisamos para irmos dos números naturais aos inteiros: apenas os inversos aditivos.